Considere a função f(x, y, z)=x^22^2-y^23^2+z^2.
(a) Encontre a equação da superfície de nível para o valor c=1.
(b) Determine uma equação para plano tangente à superfície de nível do item (a) no ponto P= (-2,-3,1).
(c) Determine uma equação para a reta normal à superfície de nível do item (a) no ponto P= (-2,-3,1).
(d) Determine o gradiente de f no ponto P=(-2,-3,1).
(e) Verifique que a resposta do item (d) é um vetor normal do plano encontrado no item (b) e um vetor diretor da reta encontrada no item (c).
(f) O resultado do item (e) é sempre verdadeiro, independentemente da função f, do valor c e do ponto P. Que tal você tentar demonstrar esse resultado?

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y,z)=x^22^2-y^23^2+z^2
e pede, para o nível c=1:
(a) a equação da superfície de nível;
(b) o plano tangente nessa superfície em P=(-2,-3,1);
(c) a reta normal à superfície em P;
(d) o gradiente de f em P;
(e) verificar que esse gradiente é normal ao plano de (b) e diretor da reta de (c);
(f) demonstrar que esse resultado vale em geral.

Passo 2

Para o nível c=1 basta igualar f a 1. Assim a equação da superfície de nível é
x^24-y^29+z^2=1

Passo 3

O gradiente geral de f é
nabla f(x,y,z) =l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr) =l(x2,-2y9,2zr)
Em P=(-2,-3,1) temos
nabla f(P) =l(-2/2,;-2cdot(-3)/9,;2cdot1r) =(-1,;tfrac23,;2)
O plano tangente em P é dado por
nabla f(P)cdotl((x,y,z)-Pr)=0,
isto é
-1,(x+2)+tfrac23,(y+3)+2,(z-1)=0,
que se simplifica para
3x-2y-6z+6=0

Passo 4

A reta normal passa por P e tem direção nabla f(P)=(-1,tfrac23,2).
Em forma paramétrica:
l(x,y,zr)=(-2,-3,1)+t,l(-1,tfrac23,2r)

Passo 5

Já calculamos
nabla f(P)=(-1,tfrac23,2)

Passo 6

Como o plano tangente de (b) foi obtido com a condição nabla f(P)cdot((x,y,z)-P)=0, nabla f(P) é, por construção, vetor normal ao plano. E como a reta de (c) usa nabla f(P) como vetor-diretor, nabla f(P) é também diretor da reta normal.

Passo 7

Para demonstrar em geral, seja S=(x,y,z)mid f(x,y,z)=c. Se r(t) é uma curva em S com r(0)=P, então fl( r(t)r)=c é constante. Diferenciando em t=0
nabla fl( r(0)r)cdot r'(0)=0,
ou seja, todo vetor tangente a S em P é ortogonal a nabla f(P). Logo nabla f(P) é normal ao plano tangente e, se usado como direção de reta, gera a reta normal.

Resposta

(a) x^24-y^29+z^2=1
(b) Plano tangente: 3x-2y-6z+6=0
(c) Reta normal: (x,y,z)=(-2,-3,1)+tl(-1,tfrac23,2r)
(d) nabla f(-2,-3,1)=(-1,tfrac23,2)
(e) Por construção, nabla f(P) é normal ao plano de (b) e paralelo à direção da reta de (c).
(f) A demonstração geral usa f( r(t))=cimpliesnabla f(P)cdot r'(0)=0.

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