Considere a função
.
(a) Encontre a equação da superfície de nível para o valor
.
(b) Determine uma equação para plano tangente à superfície de nível do item (a) no ponto
.
(c) Determine uma equação para a reta normal à superfície de nível do item (a) no ponto
.
(d) Determine o gradiente de
no ponto
.
(e) Verifique que a resposta do item (d) é um vetor normal do plano encontrado no item (b) e um vetor diretor da reta encontrada no item (c).
(f) O resultado do item (e) é sempre verdadeiro, independentemente da função
, do valor
e do ponto
. Que tal você tentar demonstrar esse resultado?
(a) Encontre a equação da superfície de nível para o valor
(b) Determine uma equação para plano tangente à superfície de nível do item (a) no ponto
(c) Determine uma equação para a reta normal à superfície de nível do item (a) no ponto
(d) Determine o gradiente de
(e) Verifique que a resposta do item (d) é um vetor normal do plano encontrado no item (b) e um vetor diretor da reta encontrada no item (c).
(f) O resultado do item (e) é sempre verdadeiro, independentemente da função
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede, para o nível
:
(a) a equação da superfície de nível;
(b) o plano tangente nessa superfície em ;
(c) a reta normal à superfície em ;
(d) o gradiente de em
;
(e) verificar que esse gradiente é normal ao plano de (b) e diretor da reta de (c);
(f) demonstrar que esse resultado vale em geral.
(a) a equação da superfície de nível;
(b) o plano tangente nessa superfície em
(c) a reta normal à superfície em
(d) o gradiente de
(e) verificar que esse gradiente é normal ao plano de (b) e diretor da reta de (c);
(f) demonstrar que esse resultado vale em geral.
Passo 2
Para o nível
basta igualar
a
. Assim a equação da superfície de nível é
Passo 3
O gradiente geral de
é
Em
temos
O plano tangente em
é dado por
isto é
que se simplifica para
Passo 4
A reta normal passa por
e tem direção
.
Em forma paramétrica:
Em forma paramétrica:
Passo 5
Já calculamos
Passo 6
Como o plano tangente de (b) foi obtido com a condição
,
é, por construção, vetor normal ao plano. E como a reta de (c) usa
como vetor-diretor,
é também diretor da reta normal.
Passo 7
Para demonstrar em geral, seja
. Se
é uma curva em
com
, então
é constante. Diferenciando em
dá
ou seja, todo vetor tangente a
em
é ortogonal a
. Logo
é normal ao plano tangente e, se usado como direção de reta, gera a reta normal.
Resposta
(a)
(b) Plano tangente:
(c) Reta normal:
(d)
(e) Por construção, é normal ao plano de (b) e paralelo à direção da reta de (c).
(f) A demonstração geral usa .
(b) Plano tangente:
(c) Reta normal:
(d)
(e) Por construção,
(f) A demonstração geral usa