Calcule
integralgamma(sen(x y)+y x cos (x y)) d x+(x^2 cos (x y)) d y, onde gamma(t)=(t^2-1, t^2+1),-1 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgammal(sin(xy)+yxcos(xy)r),dx+l(x^2cos(xy)r),dy
ao longo da curva gamma(t)=(t^2-1,;t^2+1), tin[-1,1].
Aqui o conteúdo é formas diferenciais exatas: vamos verificar se a forma é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que dphi=M,dx+N,dy.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=sin(xy)+yxcos(xy), N(x,y)=x^2cos(xy)
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y =partialpartial yl[sin(xy)r] +partialpartial yl[yxcos(xy)r] =xcos(xy) +l(xcos(xy)-x^2ysin(xy)r) =2xcos(xy)-x^2ysin(xy),
partial Npartial x =partialpartial xl[x^2cos(xy)r] =2xcos(xy)-x^2ysin(xy)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a forma é exata em R^2.

Passo 3

Buscamos phi(x,y) tal que phix=M. Integramos M em relação a x:
phi(x,y) =integrall[sin(xy)+yxcos(xy)r],dx
Separando,
integralsin(xy),dx =-cos(xy)y,
integral yxcos(xy),dx =xsin(xy)+cos(xy)y,
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phi(x,y) =-cos(xy)y+xsin(xy)+cos(xy)y+h(y) =xsin(xy)+h(y)
Para phiy=N temos
phiy =xcdot xcos(xy)+h'(y) =x^2cos(xy)+h'(y) stackrel!=x^2cos(xy),
daí h'(y)=0 e h(y) é constante. Podemos escolher phi(x,y)=xsin(xy).

Passo 4

A integral independe do caminho, valendo
integralgammaomega =phil(gamma(1)r)-phil(gamma(-1)r)
Em t=1 e t=-1 temos
gamma(1)=(0,2) e gamma(-1)=(0,2),
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phi(0,2)=0sin(0cdot2)=0 em ambos os casos.

Resposta

integralgamma(sin(xy)+yxcos(xy)),dx+(x^2cos(xy)),dy=0

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