K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
e verificar (a) se ela converge absolutamente e (b) se ela converge condicionalmente. Para isso vamos usar:
Definição de convergência absoluta (analisar ).
Teste do termo geral (se , a série diverge).
Critério de convergência condicional (a série deve convergir, mas não absolutamente).
Passo 2
Para a convergência absoluta consideramos
Note que o termo geral kln k não tende a zero quando ktoinfty; ao contrário, cresce sem limite. Logo pelo teste do termo geral a série das modulações diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Passo 3
Para verificar se há convergência condicional precisamos ver se a série original converge, mesmo não sendo absoluta. Mas o termo geral da série é
ak = (-1)^k+1,kln k,
cujo módulo kln k não tende a zero. Como condição necessária para qualquer série converge é limktoinftyak=0, concluímos que a série nem sequer converge. Portanto não há convergência condicional.
Resposta
A série diverge, ou seja, não converge nem absolutamente, nem condicionalmente.