K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumk=2^infty(-1)^k+1,kln k
e verificar (a) se ela converge absolutamente e (b) se ela converge condicionalmente. Para isso vamos usar:
  1. Definição de convergência absoluta (analisar sum|ak|).
  2. Teste do termo geral (se aknotto0, a série diverge).
  3. Critério de convergência condicional (a série deve convergir, mas não absolutamente).

Passo 2

Para a convergência absoluta consideramos
sumk=2^infty|(-1)^k+1kln k| =sumk=2^inftykln k
Note que o termo geral kln k não tende a zero quando ktoinfty; ao contrário, cresce sem limite. Logo pelo teste do termo geral a série das modulações diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 3

Para verificar se há convergência condicional precisamos ver se a série original converge, mesmo não sendo absoluta. Mas o termo geral da série é
ak = (-1)^k+1,kln k,
cujo módulo kln k não tende a zero. Como condição necessária para qualquer série converge é limktoinftyak=0, concluímos que a série nem sequer converge. Portanto não há convergência condicional.

Resposta

A série diverge, ou seja, não converge nem absolutamente, nem condicionalmente.

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