K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumk=1^infty (-1)^k+1,k^2(k+2)!
e pede para verificar (a) se ela converge absolutamente e (b) se ela converge condicionalmente. Para (a) vamos considerar a série dos módulos e aplicar o teste da razão de d’Alembert.

Passo 2

Definimos
ak = k^2(k+2)!
e estudamos a série
sumk=1^inftyak = sumk=1^inftyk^2(k+2)!
Pelo teste da razão, calculamos
L = limktoinftyak+1ak = limktoinfty (k+1)^2(k+3)!k^2(k+2)! = limktoinfty(k+1)^2k^2,(k+2)!(k+3)! = limktoinfty(k+1)^2k^2,1k+3
Como (k+1)^2k^2to1 e 1k+3to0, segue que
L = 0 < 1
Logo a série sum ak converge, isto é, a série original converge absolutamente.

Passo 3

Como a convergência absoluta é uma forma mais forte de convergência, a série já converge e não há convergência condicional separada: ela converge absolutamente e, portanto, não é apenas condicional.

Resposta

(a) Converge absolutamente.
(b) Não converge condicionalmente.

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