Calcule as seguintes antiderivadas:
p) integral sec ^2(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada de sec^2(2x). Estamos em integração de funções trigonométricas, e vamos usar a ideia de substituição associada à derivada de tan u.

Passo 2

Sabendo que ddu(tan u)=sec^2 u, fazemos a troca de variável u=2x. Assim, temos du=2,dx, ou seja, dx=du2.
Substituindo na integral original:
integral sec^2(2x),dx = integral sec^2(u) cdot du2 = 12integral sec^2(u),du

Passo 3

Como integral sec^2(u),du=tan u + C, obtemos
12integral sec^2(u),du = 12(tan u) + C
Por fim, voltamos à variável original substituindo u=2x, chegando em
12tan(2x) + C.

Resposta

tfrac12tan(2x) + C

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