Calcule partial^2partial x partial y f(x, y) onde f(x, y)=x^y^2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista
partial^2partial x,partial yf(x,y)
onde f(x,y)=x^y^2. Vamos usar a reescrita
x^y^2 = e^y^2ln x
para calcular primeiro partial f/partial y e depois derivar esse resultado em relação a x.

Passo 2

Calculemos partial fpartial y. Como
f(x,y)=e^y^2ln x,
pela regra da cadeia temos
partial fpartial y = e^y^2ln x,partialpartial y(y^2ln x) = x^y^2cdot(2yln x)

Passo 3

Agora derivamos
partial fpartial y=2yln x;x^y^2
em relação a x. É um produto, então
partial^2 fpartial x,partial y =partialpartial xl(2yln x;x^y^2r) =2ypartial(ln x)partial x,x^y^2 +2yln x;partial(x^y^2)partial x

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial(ln x)partial x=1x, partial(x^y^2)partial x =y^2,x^y^2-1
Substituindo em

Passo 5

partial^2 fpartial x,partial y =2ycdot1x;x^y^2 +2yln x;l(y^2,x^y^2-1r) =2y,x^y^2-1l(1+y^2ln xr)

Resposta

boxedpartial^2 fpartial x,partial y =2y,x^y^2-1l(1+y^2ln xr)

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