Calcule partial zpartial x e partial zpartial y usando derivação implícita. Deixe sua resposta em termos de x, y e z .
ln (2 x^2+y-z^3)=x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
lnl(2x^2+y - z^3r)=x
e pede partial zpartial x e partial zpartial y. O conteúdo envolvido é derivação implícita em funções de duas variáveis, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x (com y constante e z = z(x,y)), aplicamos a regra da cadeia na parte esquerda:
ddxlnl(2x^2+y - z^3r) =12x^2+y - z^3l(4x - 3z^2,tfracpartial zpartial xr)
e a derivada do lado direito é 1. Logo,
4x - 3z^2,zx2x^2+y - z^3=1

Passo 3

Isolando zx=partial zpartial x na equação anterior:
4x - 3z^2zx = 2x^2+y - z^3 Longrightarrow -3z^2zx = 2x^2+y - z^3 -4x Longrightarrow zx = 4x - l(2x^2+y - z^3r)3z^2

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação a y (com x constante), novamente pela regra da cadeia:
ddylnl(2x^2+y - z^3r) =1 - 3z^2,tfracpartial zpartial y2x^2+y - z^3
e a derivada do lado direito é 0. Logo,
1 - 3z^2zy2x^2+y - z^3=0

Passo 5

Isolando zy=partial zpartial y:
1 - 3z^2zy = 0 Longrightarrow zy = 13z^2

Resposta

partial zpartial x = 4x - l(2x^2+y - z^3r)3z^2, partial zpartial y = 13z^2

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