Quais das estruturas algébricas a seguir são grupos (relativas às operações usuais)?
a) (Z-,+)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a estrutura algébrica (Z-,+) é um grupo em relação à operação de adição. Estamos falando de Álgebra, especificamente do estudo de grupos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um grupo e checar uma a uma se elas são satisfeitas nessa estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação que satisfaz quatro propriedades principais: fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos.

Passo 3

1. Fechamento: Isso significa que se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e aplicar a operação, o resultado também deve estar no conjunto. No nosso caso, se somarmos dois números inteiros negativos, o resultado será outro inteiro negativo. Por exemplo, -2 + (-3) = -5, que ainda está em Z-. Então, a propriedade de fechamento é satisfeita.

Passo 4

2. Associatividade: Essa propriedade diz que a maneira como agrupamos os elementos não altera o resultado da operação. A adição de números inteiros é sempre associativa. Por exemplo, (-1 + (-2)) + (-3) = -6 e -1 + (-2 + (-3)) = -6. Portanto, a associatividade é satisfeita.

Passo 5

3. Elemento Neutro: Um grupo deve ter um elemento que, quando usado na operação com qualquer outro elemento do grupo, não muda esse elemento. Para a adição, o elemento neutro é o 0. Mas aqui está o problema: 0 não está em Z-, já que esse conjunto contém apenas inteiros negativos. Sem o elemento neutro, a estrutura não atende a essa propriedade.

Passo 6

4. Inversos: Cada elemento do grupo deve ter um inverso que, quando adicionado a ele, resulta no elemento neutro. Como não temos o 0 no conjunto Z-, não conseguimos garantir que cada número negativo tenha um inverso dentro do próprio conjunto que resulte em 0. Portanto, essa propriedade também não é satisfeita.

Resposta

A estrutura (Z-,+) não é um grupo, pois não possui o elemento neutro e os inversos necessários para satisfazer as propriedades de um grupo.

Exercícios relacionados