Quais das estruturas algébricas a seguir são grupos (relativas às operações usuais)?
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a estrutura algébrica
é um grupo em relação à operação de adição. Estamos falando de Álgebra, especificamente do estudo de grupos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um grupo e checar uma a uma se elas são satisfeitas nessa estrutura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação que satisfaz quatro propriedades principais: fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos.
Passo 3
1. Fechamento: Isso significa que se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e aplicar a operação, o resultado também deve estar no conjunto. No nosso caso, se somarmos dois números inteiros negativos, o resultado será outro inteiro negativo. Por exemplo,
, que ainda está em
. Então, a propriedade de fechamento é satisfeita.
Passo 4
2. Associatividade: Essa propriedade diz que a maneira como agrupamos os elementos não altera o resultado da operação. A adição de números inteiros é sempre associativa. Por exemplo,
e
. Portanto, a associatividade é satisfeita.
Passo 5
3. Elemento Neutro: Um grupo deve ter um elemento que, quando usado na operação com qualquer outro elemento do grupo, não muda esse elemento. Para a adição, o elemento neutro é o
. Mas aqui está o problema:
não está em
, já que esse conjunto contém apenas inteiros negativos. Sem o elemento neutro, a estrutura não atende a essa propriedade.
Passo 6
4. Inversos: Cada elemento do grupo deve ter um inverso que, quando adicionado a ele, resulta no elemento neutro. Como não temos o
no conjunto
, não conseguimos garantir que cada número negativo tenha um inverso dentro do próprio conjunto que resulte em
. Portanto, essa propriedade também não é satisfeita.
Resposta
A estrutura
não é um grupo, pois não possui o elemento neutro e os inversos necessários para satisfazer as propriedades de um grupo.