Calcule
onde
é o sólido abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral tripla de
sobre o sólido
, que está definido por
e
. Vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas, que é útil para regiões com simetria circular como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
descreve um cone com vértice na origem e abrindo para cima. Com
, estamos olhando para a parte desse cone entre as alturas 1 e 2.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, as relações são:
E o elemento de volume é
.
Passo 4
A integral que queremos calcular,
, em coordenadas cilíndricas, fica:
Aqui, usamos que
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração:
-
varia de 1 a 2. - Para cada
, vai de 0 até (porque ). -
varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
Passo 6
Agora, escrevemos a integral com esses limites:
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 8
Substituindo na integral, temos:
Passo 9
Integramos agora em relação a
:
Passo 10
Substituindo de novo, temos:
Resposta
O valor da integral tripla é
.