Calcule integral triplaW x^2+y^2 d V onde W é o sólido abaixo:
W=(x, y, z) in R^3 ; z >= raizx^2+y^2 com 1 <= z <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral tripla de x^2 + y^2 sobre o sólido W , que está definido por z >= raizx^2 + y^2 e 1 <= z <= 2 . Vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas, que é útil para regiões com simetria circular como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região W . A condição z >= raizx^2 + y^2 descreve um cone com vértice na origem e abrindo para cima. Com 1 <= z <= 2 , estamos olhando para a parte desse cone entre as alturas 1 e 2.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, as relações são:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume é dV = r, dr, dtheta, dz .

Passo 4

A integral que queremos calcular, integral triplaW (x^2 + y^2) , dV , em coordenadas cilíndricas, fica:
integral triplaW r^2 cdot r, dr, dtheta, dz = integral triplaW r^3, dr, dtheta, dz
Aqui, usamos que x^2 + y^2 = r^2 .

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração:
  • z varia de 1 a 2.
  • Para cada z , r vai de 0 até z (porque z >= r ).
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 6

Agora, escrevemos a integral com esses limites:
integral0^2pi integral1^2 integral0^z r^3, dr, dz, dtheta

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a r :
integral0^z r^3, dr = [ r^44 ]0^z = z^44

Passo 8

Substituindo na integral, temos:
integral0^2pi integral1^2 z^44, dz, dtheta = 14 integral0^2pi integral1^2 z^4, dz, dtheta

Passo 9

Integramos agora em relação a z :
integral1^2 z^4, dz = [ z^55 ]1^2 = 325 - 15 = 315

Passo 10

Substituindo de novo, temos:
14 integral0^2pi 315, dtheta = 3120 integral0^2pi dtheta = 3120 cdot 2pi = 31pi10

Resposta

O valor da integral tripla é 31pi10 .

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