Calcule f^prime(x) e f^prime prime(x), onde:
f(x)=x^2(5+10 e^x)+x^3(x^2+e^x)

Passo 1

O enunciado pede f'(x) e f''(x) para
f(x)=x^2l(5+10e^xr)+x^3l(x^2+e^xr)
Vamos usar a regra da soma, a regra do produto e lembrar que ddxe^x=e^x.

Passo 2

Defina
T1(x)=x^2l(5+10e^xr), T2(x)=x^3l(x^2+e^xr)
Pela regra do produto:
T1'(x)=2xl(5+10e^xr)+x^2cdot(10e^x),
T2'(x)=3x^2l(x^2+e^xr)+x^3cdotl(2x+e^xr)
Logo
f'(x)=T1'(x)+T2'(x)

Passo 3

Desenvolvendo e agrupando termos em potências de x e fatores e^x, temos
f'(x) =10x+20x,e^x+10x^2,e^x+3x^4+3x^2,e^x+2x^4+x^3,e^x
Agrupando x^4 e os termos em e^x,
f'(x)=5x^4+10x+l(20x+13x^2+x^3r)e^x

Passo 4

Para f''(x) derivamos cada parcela de f'(x). A derivada de 5x^4 é 20x^3, de 10x é 10. Para
H(x)=l(20x+13x^2+x^3r)e^x
usamos novamente o produto:
H'(x) =l(20+26x+3x^2r)e^x+l(20x+13x^2+x^3r)e^x =l(20+46x+16x^2+x^3r)e^x

Passo 5

Somando tudo:
f''(x)=20x^3+10+l(20+46x+16x^2+x^3r)e^x

Resposta

f'(x)=5x^4+10x+(20x+13x^2+x^3)e^x
f''(x)=20x^3+10+(20+46x+16x^2+x^3)e^x

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