Sobre a busca do zero
de uma função
, é verdadeiro afirmar que:
a) Não é possível verificar a unicidade de uma raiz em um intervalo
b) O método de Newton (Método da Tangente) é o mais utilizado na prática, com convergência mais rápida
c)
, não existem raízes no intervalo
d) O método da bisseção converge mais rápido que o método de Newton
a) Não é possível verificar a unicidade de uma raiz em um intervalo
b) O método de Newton (Método da Tangente) é o mais utilizado na prática, com convergência mais rápida
c)
d) O método da bisseção converge mais rápido que o método de Newton
Passo 1
Então, temos uma questão sobre encontrar as raízes (ou zeros) de uma função
, ou seja, os valores de
para os quais
. Vamos precisar entender alguns métodos de busca de raízes, como o Método de Newton e o Método da Bisseção, além de conceitos sobre unicidade de raízes e condições para a existência de raízes em um intervalo
.
Passo 2
Vamos analisar cada uma das afirmações para ver quais são verdadeiras.
a) Não é possível verificar a unicidade de uma raiz em um intervalo
.
Para verificar se há apenas uma raiz em um intervalo, podemos usar o Teorema de Rolle ou o Teorema do Valor Intermediário junto com propriedades da função, como a derivada. Se a função for estritamente crescente ou decrescente no intervalo, então existe no máximo uma raiz. Portanto, é possível verificar a unicidade em certas condições.
Conclusão: A afirmação a) é falsa.
Passo 3
b) O método de Newton (Método da Tangente) é o mais utilizado na prática, com convergência mais rápida.
O Método de Newton é realmente muito popular na prática devido à sua convergência quadrática, ou seja, ele converge muito rapidamente para a raiz se a estimativa inicial estiver próxima o suficiente da raiz real e a função for bem comportada.
Em comparação, outros métodos como o Método da Bisseção têm uma convergência linear, que é mais lenta. Por isso, o Método de Newton é geralmente preferido quando suas condições de aplicação são atendidas.
Conclusão: A afirmação b) é verdadeira.
Passo 4
c) Se
, não existem raízes no intervalo
.
O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se
é contínua no intervalo
e
, então existe pelo menos uma raiz no intervalo. No entanto, se
, isso não garante que não haja raízes; apenas indica que o número de raízes é par ou nenhum, dependendo da função. Pode haver uma ou mais raízes dentro do intervalo, mesmo que
.
Conclusão: A afirmação c) é falsa.
Passo 5
d) O método da bisseção converge mais rápido que o método de Newton.
Como mencionado anteriormente, o Método de Newton possui convergência quadrática, enquanto o Método da Bisseção tem convergência linear. Isso significa que o Método de Newton geralmente converge muito mais rápido que o Método da Bisseção, desde que as condições para sua aplicação sejam atendidas.
Conclusão: A afirmação d) é falsa.
Resposta
A única afirmação verdadeira é a b).