Calcule f^prime(x) e f^prime prime(x), onde:
f(x)=e^x+10x^2+2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^x+10x^2+2
e pede f'(x) e f''(x). Para isso, vamos usar a regra do quociente:
(uv)'=u'v-uv'v^2

Passo 2

Calculemos f'(x). Seja
u(x)=e^x+10, v(x)=x^2+2
Então
u'(x)=e^x, v'(x)=2x
e pela regra do quociente
f'(x) =e^x,(x^2+2)-(e^x+10),2x(x^2+2)^2
O numerador fica
e^x(x^2+2)-2x,e^x-20x =e^x(x^2-2x+2)-20x
Logo
f'(x)=e^x(x^2-2x+2)-20x(x^2+2)^2

Passo 3

Para f''(x), defina
N(x)=e^x(x^2-2x+2)-20x, D(x)=(x^2+2)^2
Derivando cada parte:
N'(x) =e^x(x^2-2x+2)+e^x(2x-2)-20 =e^x x^2-20,
D'(x)=2(x^2+2),2x=4x(x^2+2)
Pela regra do quociente,
f''(x) =N'(x)D(x)-N(x)D'(x)D(x)^2 =(e^x x^2-20)(x^2+2)^2-l[e^x(x^2-2x+2)-20xr],4x(x^2+2)(x^2+2)^4

Passo 4

Para simplificar, fatoramos (x^2+2) no numerador:
(x^2+2)l[(e^x x^2-20)(x^2+2)-4xl(e^x(x^2-2x+2)-20xr)r](x^2+2)^4 =(e^x x^2-20)(x^2+2)-4x,e^x(x^2-2x+2)+80x^2(x^2+2)^3
Expandindo e recolhendo termos, o numerador torna-se
e^x(x^4-4x^3+10x^2-8x)+60x^2-40
Logo
f''(x) =e^x(x^4-4x^3+10x^2-8x)+60x^2-40(x^2+2)^3

Resposta

f'(x)=e^x(x^2-2x+2)-20x(x^2+2)^2, f''(x)=e^x(x^4-4x^3+10x^2-8x)+60x^2-40(x^2+2)^3

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