Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde a região é definida por algumas condições envolvendo , e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral em coordenadas esféricas, que é super útil quando lidamos com esferas e cones, como nesse caso. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para esféricas e aplicar as fórmulas de mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida pelas seguintes condições:
: Isso representa o interior e a superfície de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
: Essa é a região dentro ou na superfície de uma esfera de raio 2 centrada no ponto .
: Essa inequação representa um cone cujo vértice está na origem e abre para cima.
Visualizando tudo isso, é a parte do espaço que está dentro da esfera maior, fora da esfera menor e acima do cone.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. As transformações são:
onde é a distância do ponto à origem, é o ângulo com o eixo e é o ângulo no plano .
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Nossa integral em coordenadas esféricas fica:
Passo 4
Vamos agora determinar os limites de integração para , e :
varia de a , pois gira em torno de todo o círculo completo.
está limitado pelo cone . Em coordenadas esféricas, isso se traduz em , já que .
está entre a esfera menor e a esfera maior. A esfera menor tem e a esfera maior, após ajustar a equação, resulta em .
Então, temos:
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites encontrados:
Simplificando um pouco a expressão, temos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a primeiro:
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a . Observamos que a expressão envolve potências de e um , o que sugere uma substituição simples. Vamos definir: