Calcule integral triplaW z^2 d x d y d z, onde
W=(x, y, z) in R^3 tais que x^2+y^2+z^2 >= 1, x^2+y^2+(z-2)^2 <= 4 e z >= raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaW z^2 , dx , dy , dz, onde a região W é definida por algumas condições envolvendo x, y e z. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral em coordenadas esféricas, que é super útil quando lidamos com esferas e cones, como nesse caso. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (rho, phi, theta) e aplicar as fórmulas de mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região W. Ela é definida pelas seguintes condições:
  1. x^2 + y^2 + z^2 >= 1: Isso representa o interior e a superfície de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
  2. x^2 + y^2 + (z - 2)^2 <= 4: Essa é a região dentro ou na superfície de uma esfera de raio 2 centrada no ponto (0, 0, 2).
  3. z >= raizx^2 + y^2: Essa inequação representa um cone cujo vértice está na origem e abre para cima.
Visualizando tudo isso, W é a parte do espaço que está dentro da esfera maior, fora da esfera menor e acima do cone.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. As transformações são:
x = rho sin phi cos theta, y = rho sin phi sin theta, z = rho cos phi,
onde rho é a distância do ponto à origem, phi é o ângulo com o eixo z e theta é o ângulo no plano xy.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Nossa integral z^2 em coordenadas esféricas fica:
z^2 = (rho cos phi)^2 = rho^2 cos^2 phi

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração para rho, phi e theta:
  • theta varia de 0 a 2pi, pois gira em torno de todo o círculo completo.
  • phi está limitado pelo cone z >= raizx^2 + y^2. Em coordenadas esféricas, isso se traduz em phi <= pi4, já que tan phi = 1.
  • rho está entre a esfera menor e a esfera maior. A esfera menor tem rho >= 1 e a esfera maior, após ajustar a equação, resulta em rho <= 4 cos phi.
Então, temos:
0 <= theta < 2pi, 0 <= phi <= pi4, 1 <= rho <= 4 cos phi

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites encontrados:
integral triplaW z^2 , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^pi/4 integral1^4 cos phi rho^2 cos^2 phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando um pouco a expressão, temos:
integral0^2pi integral0^pi/4 integral1^4 cos phi rho^4 cos^2 phi sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a rho primeiro:
integral1^4 cos phi rho^4 , drho = [ rho^55 ]1^4 cos phi = (4 cos phi)^5 - 15
Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^2pi integral0^pi/4 (4 cos phi)^5 - 15 cos^2 phi sin phi , dphi , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a phi. Observamos que a expressão envolve potências de cos phi e um sin phi, o que sugere uma substituição simples. Vamos definir:
u = cos phi implies du = -sin phi , dphi
Os limites para u quando phi vai de 0 a pi/4 são u = 1 a u = raiz22.
A integral em phi fica:
15 integral1^raiz22 ( (4u)^5 - 1 ) u^2 (-du)
Simplificando e trocando os limites:
15 integralraiz22^1 ( 1024 u^5 - 1 ) u^2 , du = 15 integralraiz22^1 (1024 u^7 - u^2) , du
Integrando termo a termo:
15 [ 1024 u^88 - u^33 ]raiz22^1 = 15 ( 128 u^8 - u^33 ) |raiz22^1
Calculando nos limites:
15 ( 128 cdot 1^8 - 1^33 - [ 128 ( raiz22 )^8 - ( raiz22 )^33 ] )
Simplificando:
15 ( 128 - 13 - [ 128 cdot 16256 - (raiz2)^3 24 ] ) = 15 ( 128 - 13 - [ 8 - 2 raiz224 ] )
Mais simplificando:
15 ( 128 - 13 - 8 + raiz212 ) = 15 ( 120 - 13 + raiz212 )

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
15 ( 120 - 13 + raiz212 ) cdot 2pi = 2pi5 ( 120 - 13 + raiz212 )
Simplificando ainda mais:
2pi5 ( 3603 - 13 + raiz212 ) = 2pi5 ( 3593 + raiz212 )

Resposta

A integral tripla vale:
integral triplaW z^2 , dx , dy , dz = 2pi5 ( 3593 + raiz212 )

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