Seja S a parte do cilindro x^2+y^2=4 limitada pelos planos z=0 e z=y+2.
Encontre n em cada ponto de S, de modo que ele aponte para fora.

Passo 1

O enunciado descreve a superfície lateral S do cilindro
x^2+y^2=4
limitada por z=0 em baixo e por z=y+2 em cima. Precisamos encontrar o vetor normal unitário n em cada ponto de S, apontando para fora do cilindro.

Passo 2

Para uma superfície dada implicitamente por
F(x,y,z)=0
o vetor normal não unitário é
nabla F=(Fx,Fy,Fz)
O vetor normal unitário é
n=pmnabla F|nabla F|
Escolhemos o sinal de modo que ele aponte para fora da região interna.

Passo 3

No nosso caso podemos tomar
F(x,y,z)=x^2+y^2-4,
pois F=0 descreve exatamente o cilindro. Então
nabla F=(2x,,2y,,0)
Em cada ponto de S temos x^2+y^2=4, logo
|nabla F|=raiz(2x)^2+(2y)^2+0^2 =raiz4(x^2+y^2) =raiz4cdot4 =4
O vetor normal unitário é
n =nabla F|nabla F| =gl(2x4,,2y4,,0gr) =l(tfracx2,,tfracy2,,0r)

Resposta

boxedn(x,y,z)=l(tfracx2,,tfracy2,,0r)

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