Calcule integralC F d r, onde
F(x, y)=(2 x y^2-y^3, 2 x^2 y-3 x y^2+2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial F(x, y) é dado por (2xy^2 - y^3, 2x^2y - 3xy^2 + 2). O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo de Integrais de Linha em Campos Vetoriais, especialmente focando em campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se F é um campo conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilite o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F = (P, Q) é conservativo se existe uma função escalar f(x, y) tal que F = nabla f, ou seja, P = partial fpartial x e Q = partial fpartial y. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se partial Ppartial y = partial Qpartial x.
Dado:
P = 2xy^2 - y^3
Q = 2x^2y - 3xy^2 + 2
Calculando partial Ppartial y:
partial Ppartial y = 4xy - 3y^2
Calculando partial Qpartial x:
partial Qpartial x = 4xy - 3y^2
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, podemos encontrar a função potencial f(x, y) tal que:
partial fpartial x = P = 2xy^2 - y^3
partial fpartial y = Q = 2x^2y - 3xy^2 + 2
Vamos integrar P em relação a x para encontrar f(x, y):
f(x, y) = integral (2xy^2 - y^3) , dx = x^2y^2 - y^3x + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y.
Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y e igualar a partial fpartial y = Q:
partial fpartial y = 2x^2y - 3xy^2 + g'(y) = 2x^2y - 3xy^2 + 2
Comparando os termos, vemos que:
g'(y) = 2
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y) = 2y + C
Onde C é a constante de integração.
Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x^2y^2 - y^3x + 2y + C

Passo 5

Como a integral de linha integralC F cdot dr em um campo conservativo é igual à diferença da função potencial nos pontos final e inicial, temos:
integralC F cdot dr = f(xfinal, yfinal) - f(xinicial, yinicial)
Sem informações específicas sobre os pontos ou o caminho C, a integral é expressa dessa forma.

Resposta

A integral de linha é igual à diferença da função potencial f(x, y) = x^2y^2 - y^3x + 2y nos pontos final e inicial, ou seja:
integralC F cdot dr = f(xfinal, yfinal) - f(xinicial, yinicial)

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