Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado por
. O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo de Integrais de Linha em Campos Vetoriais, especialmente focando em campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se
é um campo conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilite o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
, ou seja,
e
. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se
.
Dado:
Calculando
:
Calculando
:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos, vemos que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Como a integral de linha
em um campo conservativo é igual à diferença da função potencial nos pontos final e inicial, temos:
Sem informações específicas sobre os pontos ou o caminho
, a integral é expressa dessa forma.
Resposta
A integral de linha é igual à diferença da função potencial
nos pontos final e inicial, ou seja: