Determine a função potencial para cada campo gradiente
dado.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função potencial
cujo gradiente é o campo
Como
é dado como gradiente de
, temos
Vamos usar o método de integração sucessiva de cada componente.
Passo 2
Integramos
em relação a
, tratando
como constantes:
onde
é uma função “fantasma” que pode depender apenas de
e
.
Passo 3
Agora usamos
. Calculando a derivada de
em relação a
temos
Igualando a
obtemos
Integramos agora em relação a
:
onde
é outra “fantasma” dependendo só de
.
Passo 4
Por fim usamos
. A derivada de
em relação a
é
Como isso deve ser igual a
, concluímos
ou seja,
é constante.
Resposta
A família de potenciais é
onde
é constante.