Determine a função potencial para cada campo gradiente F dado.
F(x, y, z)=(y^2, 2 x y+e^3 z, 3 y e^3 z)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função potencial f(x,y,z) cujo gradiente é o campo
F(x,y,z)=l(y^2,,2xy+e^3z,,3y,e^3zr)
Como F é dado como gradiente de f, temos
partial fpartial x=y^2, partial fpartial y=2xy+e^3z, partial fpartial z=3y,e^3z
Vamos usar o método de integração sucessiva de cada componente.

Passo 2

Integramos partial fpartial x=y^2 em relação a x, tratando y,z como constantes:
f(x,y,z) =integral y^2,dx = x,y^2+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função “fantasma” que pode depender apenas de y e z.

Passo 3

Agora usamos partial fpartial y=2xy+e^3z. Calculando a derivada de
f(x,y,z)=x,y^2+g(y,z)
em relação a y temos
partial fpartial y =2x,y + partial gpartial y
Igualando a 2xy+e^3z obtemos
2xy + partial gpartial y =2xy + e^3z Longrightarrow partial gpartial y=e^3z
Integramos agora em relação a y:
g(y,z) =integral e^3z,dy =y,e^3z+h(z),
onde h(z) é outra “fantasma” dependendo só de z.

Passo 4

Por fim usamos partial fpartial z=3y,e^3z. A derivada de
f(x,y,z)=x,y^2+y,e^3z+h(z)
em relação a z é
partial fpartial z = partialpartial zl(x,y^2r) + partialpartial zl(y,e^3zr) + h'(z) =0 + 3y,e^3z + h'(z)
Como isso deve ser igual a 3y,e^3z, concluímos
3y,e^3z + h'(z) = 3y,e^3z Longrightarrow h'(z)=0
ou seja, h(z) é constante.

Resposta

A família de potenciais é
f(x,y,z)=x,y^2+y,e^3z+C,
onde C é constante.

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