Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:
alpha(t)=(sen t, t, 1-cos t) t in[0,2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva definida por alpha(t) = (sin t, t, 1 - cos t) no intervalo de t de 0 a 2pi. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a medir a “distância” percorrida ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)). A fórmula é:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Aqui, a e b são os limites do intervalo de t, que no nosso caso são 0 e 2pi.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de cada componente da curva alpha(t). Isso significa calcular dxdt, dydt e dzdt.
Para alpha(t) = (sin t, t, 1 - cos t):
  • x(t) = sin t então dxdt = cos t
  • y(t) = t então dydt = 1
  • z(t) = 1 - cos t então dzdt = sin t

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz(cos t)^2 + (1)^2 + (sin t)^2 , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
(cos t)^2 + (sin t)^2 = cos^2 t + sin^2 t = 1
Então, temos:
L = integral0^2pi raiz1 + 1 , dt = integral0^2pi raiz2 , dt
Como raiz2 é uma constante, podemos tirar da integral.

Passo 6

Calculando a integral:
L = raiz2 integral0^2pi dt = raiz2 [t]0^2pi = raiz2 (2pi - 0) = 2pi raiz2

Resposta

O comprimento de arco da curva no intervalo t in [0, 2pi] é 2pi raiz2.

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