Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva definida por
no intervalo de
de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a medir a “distância” percorrida ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
. A fórmula é:
Aqui,
e
são os limites do intervalo de
, que no nosso caso são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de cada componente da curva
. Isso significa calcular
,
e
.
Para
:
-
então -
então -
então
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, temos:
Como
é uma constante, podemos tirar da integral.
Passo 6
Calculando a integral:
Resposta
O comprimento de arco da curva no intervalo
é
.