Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:
alpha(t)=(t, 3 t^2, 6 t^3) t in[0,2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por alpha(t) = (t, 3t^2, 6t^3) no intervalo de t in [0, 2]. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, especificamente ao cálculo de comprimento de curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar o módulo dessa derivada e depois integrar esse módulo no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial alpha(t). A derivada de uma função vetorial alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) em relação a t é dada por:
alpha'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt )
Então, derivando cada componente de alpha(t):
dxdt = 1, dydt = 6t, dzdt = 18t^2
Portanto,
alpha'(t) = (1, 6t, 18t^2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que nos dará a taxa de variação do comprimento da curva em relação a t. O módulo de um vetor (a, b, c) é dado por:
|alpha'(t)| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso à nossa derivada:
|alpha'(t)| = raiz1^2 + (6t)^2 + (18t^2)^2 = raiz1 + 36t^2 + 324t^4

Passo 4

Para encontrar o comprimento de arco S da curva entre t = 0 e t = 2, vamos integrar o módulo da derivada nesse intervalo:
S = integral0^2 |alpha'(t)|, dt = integral0^2 raiz1 + 36t^2 + 324t^4, dt

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz, percebemos que:
1 + 36t^2 + 324t^4 = (1 + 18t^2)^2
Isso porque:
(1 + 18t^2)^2 = 1 + 2 cdot 1 cdot 18t^2 + (18t^2)^2 = 1 + 36t^2 + 324t^4
Então, a integral fica:
S = integral0^2 raiz(1 + 18t^2)^2, dt = integral0^2 (1 + 18t^2), dt

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral:
S = integral0^2 1, dt + integral0^2 18t^2, dt
Integrando cada termo separadamente:
integral0^2 1, dt = [t]0^2 = 2 - 0 = 2
integral0^2 18t^2, dt = 18 cdot [ t^33 ]0^2 = 18 cdot ( 83 - 0 ) = 18 cdot 83 = 48

Passo 7

Somando os resultados das integrais:
S = 2 + 48 = 50

Resposta

O comprimento de arco da curva alpha(t) = (t, 3t^2, 6t^3) no intervalo t in [0, 2] é 50 unidades de comprimento.

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