Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por
no intervalo de
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, especificamente ao cálculo de comprimento de curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar o módulo dessa derivada e depois integrar esse módulo no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial
em relação a
é dada por:
Então, derivando cada componente de
:
Portanto,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que nos dará a taxa de variação do comprimento da curva em relação a
. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Passo 4
Para encontrar o comprimento de arco
da curva entre
e
, vamos integrar o módulo da derivada nesse intervalo:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz, percebemos que:
Isso porque:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral:
Integrando cada termo separadamente:
Passo 7
Somando os resultados das integrais:
Resposta
O comprimento de arco da curva
no intervalo
é 50 unidades de comprimento.