Calcule
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
O conteúdo principal aqui é usar séries telescópicas, via decomposição em frações parciais, para obter uma expressão de
em função de
e então tomar o limite.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Queremos encontrar
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Comparando coeficientes:
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Passo 3
Substituindo na soma, fica
Essa soma é telescópica. Escrevendo os primeiros e últimos termos:
Portanto
Passo 4
Para o limite, note que
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