Calcule lim n infty Sn, onde
Sn=11 cdot 3+12 cdot 4+13 cdot 5+ldots+1n cdot(n+2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limntoinftySn, onde
Sn = 11cdot3 + 12cdot4 + 13cdot5 + cdots + 1n(n+2)
O conteúdo principal aqui é usar séries telescópicas, via decomposição em frações parciais, para obter uma expressão de Sn em função de n e então tomar o limite.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Queremos encontrar A e B tais que
1k(k+2) = Ak + Bk+2
Multiplicando ambos os lados por k(k+2), obtemos
1 = A(k+2) + Bk = (A+B),k + 2A
Comparando coeficientes:
A + B = 0, 2A = 1 Longrightarrow A = tfrac12,; B = -tfrac12
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1k(k+2) = 12l(1k - 1k+2r)

Passo 3

Substituindo na soma, fica
Sn = sumk=1^n 1k(k+2) = 12 sumk=1^n l(1k - 1k+2r)
Essa soma é telescópica. Escrevendo os primeiros e últimos termos:
sumk=1^n l(1k - 1k+2r) = l(11 + 12 + dots + 1nr) - l(13 + 14 + dots + 1n+2r) = 1 + tfrac12 - 1n+1 - 1n+2
Portanto
Sn = 12l(1 + tfrac12 - 1n+1 - 1n+2r) = 34 - 12l(1n+1 + 1n+2r)

Passo 4

Para o limite, note que
limntoinfty 1n+1 = 0 e limntoinfty 1n+2 = 0
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limntoinfty Sn = 34

Resposta

34

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