Determine barP=(barx, bary) como no teorema do valor Médio.
f(x, y)=2 x^2-3 y^2, P0(1,2) e P1(4,3).

Passo 1

O enunciado pede um ponto bar P=(bar x,bar y) no segmento de reta entre P0(1,2) e P1(4,3) tal que valha o Teorema do Valor Médio para funções de várias variáveis. O conteúdo usado será:
– Parametrizar o ponto no segmento via tin(0,1).
– Usar que existe t tal que
nabla f(bar P)cdot (P1-P0);=;f(P1)-f(P0)

Passo 2

Parametrizamos
bar P = P0 + t,(P1 - P0) = (1,2) + t,( (4,3)-(1,2) ) = (1+3t,;2+t)
E anotamos o vetor de deslocamento
P1 - P0 = (4-1,;3-2) = (3,1)

Passo 3

Calculamos a diferença dos valores de f:
f(P1)=2cdot4^2 - 3cdot3^2 =32 -27 =5,
f(P0)=2cdot1^2 - 3cdot2^2 =2 -12 = -10,
logo
f(P1)-f(P0)=5 - (-10)=15

Passo 4

Agradiente de f é
nabla f(x,y) = l(4x,,-6yr)
Em bar P=(1+3t,2+t) fica
nabla f(bar P) = l(4(1+3t),,-6(2+t)r) = (4+12t,,-12-6t)
O produto escalar com (3,1) é
nabla f(bar P)cdot(3,1) = (4+12t)cdot3 +(-12-6t)cdot1 =12 +36t -12 -6t =30t
Pelo Teorema do Valor Médio deve valer
30t = f(P1)-f(P0) = 15 Longrightarrow t = tfrac12

Passo 5

Substituindo t=tfrac12 em bar P=(1+3t,2+t) obtemos
bar P = l(1+tfrac32,;2+tfrac12r) = l(tfrac52,;tfrac52r)

Resposta

bar P = l(tfrac52,;tfrac52r).

Exercícios relacionados