Encontre o raio de convergência das séries:
sumk=1^infty (2 x-4)^3 kk !

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o raio de convergência da série:
sumk=1^infty (2 x-4)^3 kk !
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e como determinar até onde a série “funciona” ou converge. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Ele nos diz o intervalo de valores de x para os quais a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite do valor absoluto do termo seguinte dividido pelo termo atual.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da série. Neste caso, o termo ak é:
ak = (2x - 4)^3kk!
Queremos calcular o limite de | ak+1ak | quando k tende ao infinito.

Passo 4

Calculando ak+1ak :
ak+1ak = (2x - 4)^3(k+1)(k+1)! times k!(2x - 4)^3k = (2x - 4)^3k+1

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
limk to infty | (2x - 4)^3k+1 | = limk to infty |(2x - 4)^3|k+1 = 0

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, se esse limite for menor que 1, a série converge. Neste caso, o limite é 0 para qualquer valor de x , o que significa que a série converge para todos os valores de x .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, ou seja, R = infty .

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