Determine barP=(barx, bary) como no teorema do valor Médio.
f(x, y)=2 x^2+3 y, P0(1,1) e P1(2,3).

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y)=2x^2+3y
e dois pontos
P0=(1,1) e P1=(2,3).
Pelo teorema do valor médio em R^2, existe um ponto
barP=(barx,bary) sobre o segmento de P0 a P1 tal que
f(P1)-f(P0)=nabla f(barP) cdot (P1-P0)

Passo 2

Calculemos primeiro
f(P0)=2cdot1^2+3cdot1=2+3=5,
f(P1)=2cdot2^2+3cdot3=8+9=17
Logo
f(P1)-f(P0)=17-5=12

Passo 3

O gradiente de f é
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr) =(4x,3)

Passo 4

O vetor direção do segmento é
P1-P0=(2-1,,3-1)=(1,2)
Então
nabla f(barP)cdot(P1-P0) =(4barx,3)cdot(1,2) =4barx+6
Igualando ao incremento de f, temos
4barx+6=12 ;Longrightarrow; 4barx=6 ;Longrightarrow; barx=32

Passo 5

Como barP está no segmento, escrevemos
barP=P0+t(P1-P0) =(1,1)+t,(1,2) =(1+t,;1+2t)
Daí barx=1+t=tfrac32 t=tfrac12.
Então
bary=1+2cdottfrac12=2.

Resposta

barP=l(barx,baryr) =l(tfrac32,,2r)

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