Encontre a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Encontre o raio e o intervalo de convergência, justificando as respostas.
Lembrete:
Lembrete:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Além disso, temos que determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor, derivadas da função hiperbólica seno e como determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
em torno de
(também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Sabemos que:
As derivadas de
são:
Passo 4
Avaliando as derivadas em
:
Perceba que todas as derivadas de ordem par em
são
e as de ordem ímpar são
.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Como as derivadas pares são zero, elas não aparecem na série. Então:
Passo 6
Agora, para encontrar o raio de convergência, observamos que a série de Taylor de
é uma série de potências semelhante à série de Taylor de
. Sabemos que a série de
converge para todo
, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Portanto, o raio de convergência
, e o intervalo de convergência é
.
Resposta
A série de Taylor da função
em torno de
é:
O raio de convergência é
, e o intervalo de convergência é
.