Encontre a série de Taylor da função f(x)=senh x em torno do ponto x=0. Encontre o raio e o intervalo de convergência, justificando as respostas.
Lembrete:
senh x=e^x-e^-x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Taylor da função f(x) = senh x em torno de x=0. Além disso, temos que determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor, derivadas da função hiperbólica seno e como determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função f(x) em torno de x=0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Onde f^(n)(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0 e n! é o fatorial de n.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) = senh x e avaliá-las em x=0.
Sabemos que:
senh x = e^x - e^-x2
As derivadas de senh x são:
f(x) &= senh x f'(x) &= cosh x f''(x) &= senh x f'''(x) &= cosh x &vdots

Passo 4

Avaliando as derivadas em x=0:
f(0) &= senh 0 = 0 f'(0) &= cosh 0 = 1 f''(0) &= senh 0 = 0 f'''(0) &= cosh 0 = 1 &vdots
Perceba que todas as derivadas de ordem par em 0 são 0 e as de ordem ímpar são 1.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
senh x = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n = f^(1)(0)1!x + f^(3)(0)3!x^3 + f^(5)(0)5!x^5 + cdots
Como as derivadas pares são zero, elas não aparecem na série. Então:
senh x = x + x^33! + x^55! + cdots = sumk=0^infty x^2k+1(2k+1)!

Passo 6

Agora, para encontrar o raio de convergência, observamos que a série de Taylor de senh x é uma série de potências semelhante à série de Taylor de e^x. Sabemos que a série de e^x converge para todo x, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Portanto, o raio de convergência R = infty, e o intervalo de convergência é (-infty, infty).

Resposta

A série de Taylor da função f(x) = senh x em torno de x=0 é:
senh x = sumk=0^infty x^2k+1(2k+1)! = x + x^33! + x^55! + cdots
O raio de convergência é R = infty, e o intervalo de convergência é (-infty, infty).

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