calcule f^prime prime(x), onde:
f(x)=e^-x cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada de
f(x)=e^-xcos2x
O conteúdo envolvido é o de derivadas de produto e regra da cadeia. Vamos precisar saber que
  • l(e^-xr)'=-e^-x,
  • l(cos2xr)'=-2sin2x,
  • l(sin2xr)'=2cos2x.

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra do produto para obter f'(x).
f'(x) =l(e^-xr)'cos2x + e^-xl(cos2xr)' =-e^-xcos2x + e^-x(-2sin2x) =-e^-xcos2x -2e^-xsin2x =-e^-xl(cos2x+2sin2xr)

Passo 3

Agora derivamos f'(x) de novo, usando produto e cadeia. Escrevendo
f'(x)=-e^-xl(cos2x+2sin2xr),
temos
f''(x) =l(-e^-xr)'l(cos2x+2sin2xr) +(-e^-x)l(cos2x+2sin2xr)'
Como l(-e^-xr)'=e^-x e
l(cos2x+2sin2xr)' =-2sin2x +4cos2x,
segue
f''(x) =e^-x(cos2x+2sin2x) - e^-xl(-2sin2x+4cos2xr) =e^-xl(cos2x+2sin2x+2sin2x-4cos2xr) =e^-xl(4sin2x-3cos2xr)

Resposta

f''(x)=e^-xl(4sin2x-3cos2xr)

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