Calcule integral triplaT e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V, onde T=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

A questão pede para calcular o triplo integral
I=integral triplaT e^(x^2+y^2+z^2)^3/2,dV
onde
T=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=1
Isso é um integral de uma função que depende apenas da distância ao centro, então vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Na mudança para coordenadas esféricas temos
x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi, ;dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
O domínio fica
0<= r<=1, 0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi
Assim
I=integral0^2pi!dthetaintegral0^pi!sinphi,dphiintegral0^1 e^(r^2)^3/2r^2,dr
Note que (r^2)^3/2=r^3.

Passo 3

Os integrais angulares são diretos:
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pisinphi,dphi=2
Logo
I=4piintegral0^1r^2 e^r^3,dr
Para resolver o integral em r, fazemos a substituição
u=r^3, du=3r^2,dr Rightarrow r^2,dr=du3
Quando r=0, u=0; quando r=1, u=1.

Passo 4

Substituindo no integral radial:
I=4piintegral0^1r^2 e^r^3,dr =4piintegral0^1 e^udu3 =4pi3integral0^1e^u,du =4pi3[e^u]0^1 =4pi3(e-1)

Resposta

4pi3(e-1)

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