1. A temperatura no ponto (x, y, z) do cilindro x^2+y^2=1 vem dada por T(x, y, z)=x y+z. Qual a taxa instantânea de variação da temperatura, em relação a t, ao longo da hélice x=cos t, y= sen t, z=t ? Qual a taxa no ponto P0(1,0,0) da hélice?

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura
T(x,y,z)=xy+z
e a hélice parametrizada por
x=cos t, y=sin t, z=t
Queremos a taxa instantânea de variação dTdt ao longo da hélice, ou seja, aplicar a regra da cadeia para funções vetoriais.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T:
nabla T(x,y,z) =l(partial Tpartial x,partial Tpartial y,partial Tpartial zr) =(y,;x,;1)

Passo 3

A derivada da parametrização é
r(t)=(cos t,sin t,t) Longrightarrow r'(t)=(-sin t,;cos t,;1)

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dTdt =nabla Tl( r(t)r)cdot r'(t) =(y,x,1)|(cos t,sin t,t)cdot(-sin t,cos t,1)
Substituindo x=cos t e y=sin t:
dTdt =(sin t,cos t,1)cdot(-sin t,cos t,1) =-sin^2t+cos^2t+1

Passo 5

Usando a identidade cos 2t=cos^2t-sin^2t, obtemos
dTdt=cos2t+1

Passo 6

O ponto P0(1,0,0) na hélice ocorre em t=0. Logo,
dTdt|t=0 =cos(2cdot0)+1=1+1=2

Resposta

A taxa de variação ao longo da hélice é
dTdt=cos2t+1,
e no ponto P0 vale 2.

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