Exercício 3. Determine d zd t utilizando a regra da cadeia.
z=x e^2 x y^2, x=2 t, y=3 t-1

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
z = x,e^2x y^2
onde x e y dependem de t segundo
x = 2t, y = 3t - 1
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar de partial z/partial x, partial z/partial y, de dx/dt e dy/dt, e então montar
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = partialpartial xl(x,e^2x y^2r) = e^2x y^2 + x,e^2x y^2cdot(2y^2) = e^2x y^2l(1 + 2x y^2r),
partial zpartial y = partialpartial yl(x,e^2x y^2r) = x,e^2x y^2cdotl(4x yr) = 4x^2y,e^2x y^2

Passo 3

As derivadas de x e y em relação a t são
dxdt = 2, dydt = 3

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = e^2x y^2l(1 + 2x y^2r)cdot 2 + 4x^2y,e^2x y^2cdot 3
Fatorando e^2x y^2:
dzdt = e^2x y^2l[2l(1 + 2x y^2r) + 12x^2yr]

Passo 5

Substituímos x=2t e y=3t-1. Primeiro note
y^2 = (3t-1)^2 = 9t^2-6t+1, x y^2 = 2t(9t^2-6t+1) = 18t^3-12t^2+2t,
x^2y = (2t)^2(3t-1) = 4t^2(3t-1) = 12t^3-4t^2
Então o colchete fica
2 + 4(xy^2) + 12(x^2y) = 2 + 4(18t^3-12t^2+2t) + 12(12t^3-4t^2) = 2 + 72t^3 - 48t^2 + 8t + 144t^3 - 48t^2 = 2 + 216t^3 - 96t^2 + 8t
E o expoente
2x y^2 = 2l(18t^3-12t^2+2tr) = 36t^3-24t^2+4t
Logo a derivada final é
dzdt = l(2 + 8t - 96t^2 + 216t^3r), e^36t^3-24t^2+4t

Resposta

dzdt = l(216t^3 - 96t^2 + 8t + 2r), e^36t^3-24t^2+4t

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