Exercício 3. Determine d zd t utilizando a regra da cadeia.
z=sen(2 x+5 y), x=cos t, y=sen t

Passo 1

O enunciado diz que temos
z = senl(2x + 5yr), x = cos t, y = sen t
e pede dzdt. O conteúdo usado será a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis.

Passo 2

Defina a função intermédia
u = 2x + 5y,
de modo que z = sen(u). Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = cos(u),dudt

Passo 3

Agora calcule
dudt
para u = 2x + 5y. Como u é soma ponderada de x e y, vale
dudt = 2,dxdt + 5,dydt

Passo 4

Como x = cos t e y = sen t, temos
dxdt = -sen t, dydt = cos t
Logo,
dudt = 2(-sen t) + 5(cos t) = -2sen t + 5cos t

Passo 5

Substituindo u = 2x+5y e dudt em dzdt e trocando x e y por cos t e sen t, obtemos
dzdt = cosl(2cos t + 5sen tr),l(-2sen t + 5cos tr)

Resposta

dzdt = cosl(2cos t + 5sen tr),l(-2sen t + 5cos tr)

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