Exercício 3. Determine d zd t utilizando a regra da cadeia.
z=ln (x^2+y^2), x=2 t+1, y=4 t^2-5

Passo 1

Bora resumir o que temos: queremos calcular dzdt$ para a função
z = lnl(x^2 + y^2r)
onde
x = 2t + 1
y = 4t^2 - 5
O conteúdo chave é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Pela regra da cadeia vale
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt
Como z = lnl(x^2 + y^2r), temos
partial zpartial x = 1x^2 + y^2cdot 2x = 2xx^2 + y^2
partial zpartial y = 1x^2 + y^2cdot 2y = 2yx^2 + y^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = 2
dydt = 8t
Substituindo na expressão da regra da cadeia dá
dzdt = 2xx^2 + y^2cdot 2 + 2yx^2 + y^2cdot 8t = 4x + 16t,yx^2 + y^2

Passo 4

Falta só colocar x = 2t+1 e y = 4t^2 - 5 e simplificar o numerador:
4x + 16t,y = 4(2t+1) + 16t(4t^2 - 5) = 8t + 4 + 64t^3 - 80t = 64t^3 - 72t + 4
Logo
dzdt = 64t^3 - 72t + 4x^2 + y^2
e, escrevendo x^2+y^2 em função de t:

Resposta

dzdt = 64t^3 - 72t + 4(2t + 1)^2 + (4t^2 - 5)^2

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