Calcule:
integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4,-x <= y <= x, x >= 0.

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla integral duplaD e^x^2+y^2,dx,dy, onde D é o conjunto de pontos em que 1<= x^2+y^2<=4, -x<= y<= x e x>=0. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares e integração usando substituição.

Passo 2

Converter as condições de D para coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta:
  • A circunferência dá 1<= r<=2.
  • A condição x>=0 vira costheta>=0 thetain[-tfracpi2,tfracpi2].
  • As retas y=pm x correspondem a theta=pmtfracpi4. Combinando tudo, fica rin[1,2] e thetain[-tfracpi4,tfracpi4].

Passo 3

Expressar a integral em coordenadas polares usando o Jacobiano r:
integral duplaD e^x^2+y^2,dx,dy = integral-pi/4^pi/4integral1^2 e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Calcular a integral interna em r usando substituição u=r^2, du=2r,dr r,dr=du/2:
integral1^2 e^r^2,r,dr = tfrac12 integral1^4 e^u,du = tfrac12(e^4-e)

Passo 5

Calcular a integral em theta, que é direta:
integral-pi/4^pi/4 dtheta = tfracpi2 .

Passo 6

Multiplicar o resultado da parte radial, tfrac12(e^4-e), pelo resultado da parte angular, tfracpi2, para obter o valor da integral.

Resposta

tfracpi4(e^4-e)

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