Calcule o W [f, g](x), onde
f(x)=x^3, g(x)=x^2|x|, x in R

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano das funções
f(x)=x^3, g(x)=x^2lvert xrvert,;xinR
Para isso usamos a definição
W[f,g](x)= f(x) & g(x) f'(x) & g'(x) = f(x),g'(x)-f'(x),g(x)

Passo 2

Antes de derivar, note que
g(x)=x^2lvert xrvert = x^3,&x>=0, -,x^3,&x<0
Ou seja, g é definida por dois ramos polinomiais.

Passo 3

Derivando em cada caso:
Para x>0:
f'(x)=3x^2, g(x)=x^3, g'(x)=3x^2
Para x<0:
f'(x)=3x^2, g(x)=-x^3, g'(x)=-3x^2
Em x=0 temos f(0)=g(0)=0 e as derivadas laterais f'(0)=g'(0)=0, logo o Wronskiano em 0 também será zero.

Passo 4

Calculemos
- Se x>0:
W[f,g](x)=x^3cdot 3x^2-3x^2cdot x^3 =3x^5-3x^5=0
- Se x<0:
W[f,g](x)=x^3cdot (-3x^2)-3x^2cdot (-x^3) =-3x^5+3x^5=0
Em x=0 já vimos que dá 0.

Resposta

W[f,g](x)=0,forall xinR

Exercícios relacionados