Encontre o limite
lim x -infty sen(x^3)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -inftysenl(x^3r)x.
O conteúdo aqui é limites envolvendo funções infinitamente oscilantes no numerador e denominador que cresce em módulo. Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) aliado ao fato de que o seno é uma função limitada.

Passo 2

Sabemos que para todo tinR vale
-1 ;<=;sen(t);<=;1
Em particular, para t = x^3 obtemos
-1 ;<=;senl(x^3r);<=;1

Passo 3

Como estamos dividindo essa desigualdade por x, que tende a -infty (logo x<0 para x suficientemente grande em módulo), ao dividir por um número negativo as desigualdades invertem-se:
-1<= senl(x^3r)<= 1 Longrightarrow -1x;>=;senl(x^3r)x;>=;1x
Note que -1/x=1/(-x)=1/|x|.

Passo 4

À medida que xto -infty, temos
1x;longrightarrow;0^- e -1x=1|x|;longrightarrow;0^+
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária sen(x^3)/x também converge para 0.

Resposta

0

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