Calcule A^p, onde A=(cc-3 & 4 -1 & 2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar A^p para a matriz
A = -3 & 4 [6pt] -1 & 2,
onde p é inteiro não-negativo. O método mais direto é diagonalizar A, escrevendo
A = P,D,P^-1,
de modo que
A^p = P,D^p,P^-1 ]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Como tr(A)=-3+2=-1 e det(A)=(-3)cdot2 - 4cdot(-1)=-6+4=-2, temos
chi(lambda)=lambda^2 - (tr,A),lambda + det A = lambda^2 + lambda -2 = (lambda-1),(lambda+2)
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=-2

Passo 3

Encontramos autovetores:
Para lambda1=1, resolvemos (A - I)v=0, isto é
-4 & 4[3pt]-1 & 1v=0 ;Longrightarrow; v1=11
Para lambda2=-2, resolvemos (A + 2I)v=0, isto é
-1 & 4[3pt]-1 & 4v=0 ;Longrightarrow; v2=41 ]

Passo 4

Formamos
P=1 & 4[3pt]1 & 1, D=1 & 0[3pt]0 & -2
O inverso de P é
P^-1 =11cdot1 - 4cdot1 1 & -4[3pt]-1 & 1 =-tfrac13 & tfrac43[3pt]tfrac13 & -tfrac13 ]

Passo 5

Elevando D à potência p
D^p =1^p & 0[3pt]0 & (-2)^p =1 & 0[3pt]0 & (-2)^p
Então
A^p = P,D^p,P^-1 =1 & 4[3pt]1 & 1 1 & 0[3pt]0 & (-2)^p -tfrac13 & tfrac43[3pt]tfrac13 & -tfrac13
Fazendo a multiplicação matricial chega-se a
A^p =13 -1 + 4,(-2)^p & 4 - 4,(-2)^p[6pt] -1 + (-2)^p & 4 - (-2)^p ]

Resposta

boxed A^p =13 -1 + 4,(-2)^p & 4 - 4,(-2)^p[6pt] -1 + (-2)^p & 4 - (-2)^p ]

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