O conjunto dado (solução de um sistema linear de equaçỏes) dado por,
S=[l x y z ] in R^3 rvert, x-y+z=2,2 x+4 y-z=0, x-2 y-z=1
é um subespaço vetorial de R^3 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
S=l[x,y,z]^TinR^3mid x - y + z = 2,;2x + 4y - z = 0,;x - 2y - z = 1r
e pergunta se S é um subespaço de R^3.
Para ser subespaço, S deve em particular conter o vetor nulo 0=(0,0,0)^T e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo pertence a S. Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) em cada equação:
0 - 0 + 0 = 0 neq 2,
logo a primeira equação já falha. Portanto (0,0,0)^Tnotin S.

Passo 3

Como todo subespaço de R^3 obrigatoriamente contém o vetor nulo, a falha acima basta para concluir que S não é subespaço.

Resposta

Não, S não é um subespaço de R^3, pois não contém o vetor nulo.

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