O conjunto dado (solução de um sistema linear de equaçỏes) dado por,
é um subespaço vetorial de R^3 ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define
S=l[x,y,z]^TinR^3mid x - y + z = 2,;2x + 4y - z = 0,;x - 2y - z = 1r
e pergunta se S é um subespaço de R^3.
Para ser subespaço, S deve em particular conter o vetor nulo 0=(0,0,0)^T e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo pertence a S. Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) em cada equação:
0 - 0 + 0 = 0 neq 2,
logo a primeira equação já falha. Portanto (0,0,0)^Tnotin S.
Passo 3
Como todo subespaço de R^3 obrigatoriamente contém o vetor nulo, a falha acima basta para concluir que S não é subespaço.
Resposta
Não, S não é um subespaço de R^3, pois não contém o vetor nulo.