Nota: Os seguintes exercícios abordam espaços vetoriais com suas respectivas operações usuais.
Mostre que o operador linear T in L(R^3) dado por
T(x, y, z)=(1raiz3 x+1raiz6 y-1raiz2 z, 1raiz3 x-2raiz6 y, 1raiz3 x+1raiz6 y+1raiz2 z)
é uma isometria em relação ao produto interno usual.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T(x,y,z)=l(tfrac1raiz3x+tfrac1raiz6y-tfrac1raiz2z,;tfrac1raiz3x-tfrac2raiz6y,;tfrac1raiz3x+tfrac1raiz6y+tfrac1raiz2zr)
sobre R^3 com o produto interno usual. Queremos mostrar que T é isometria, ou seja, que para todos u,vinR^3 vale
lang<= T(u),T(v)rang<= ;=;lang<= u,vrang<=
A estratégia será verificar que as imagens dos vetores da base canônica formam uma base ortonormal, o que implica T^T T=I e garante a preservação do produto interno.

Passo 2

Calculemos T(e1), onde e1=(1,0,0).
T(e1)=l(tfrac1raiz3,;tfrac1raiz3,;tfrac1raiz3r)
Seu quadrado da norma é
|T(e1)|^2 =l(tfrac1raiz3r)^2+l(tfrac1raiz3r)^2+l(tfrac1raiz3r)^2 =tfrac13+tfrac13+tfrac13=1,
logo |T(e1)|=1.

Passo 3

Agora T(e2) com e2=(0,1,0):
T(e2)=l(tfrac1raiz6,;-tfrac2raiz6,;tfrac1raiz6r)
Verifiquemos a norma e a ortogonalidade a T(e1):
|T(e2)|^2 =tfrac16+tfrac46+tfrac16=1, lang<= T(e1),T(e2)rang<= =tfrac1raiz3tfrac1raiz6 +tfrac1raiz3l(-tfrac2raiz6r) +tfrac1raiz3tfrac1raiz6=0

Passo 4

Finalmente T(e3) com e3=(0,0,1):
T(e3)=l(-tfrac1raiz2,;0,;tfrac1raiz2r)
Calculamos
|T(e3)|^2 =tfrac12+0+tfrac12=1,
e as projeções em T(e1) e T(e2):
lang<= T(e1),T(e3)rang<= =tfrac1raiz3l(-tfrac1raiz2r) +tfrac1raiz3cdot0 +tfrac1raiz3tfrac1raiz2=0,
lang<= T(e2),T(e3)rang<= =tfrac1raiz6l(-tfrac1raiz2r) +l(-tfrac2raiz6r)cdot0 +tfrac1raiz6tfrac1raiz2=0

Passo 5

Como T(e1),T(e2),T(e3) é uma base ortonormal de R^3, temos T^T T=I. Dessa forma, para quaisquer u,vinR^3,
lang<= T(u),T(v)rang<= =lang<= u,T^T T,vrang<= =lang<= u,vrang<=,
ou seja, T preserva o produto interno.

Resposta

T é isometria em relação ao produto interno usual.

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