Nota: Os seguintes exercícios abordam espaços vetoriais com suas respectivas operações usuais.
Mostre que o operador linear
dado por
é uma isometria em relação ao produto interno usual.
Mostre que o operador linear
Passo 1
O enunciado define o operador linear
sobre
com o produto interno usual. Queremos mostrar que
é isometria, ou seja, que para todos
vale
A estratégia será verificar que as imagens dos vetores da base canônica formam uma base ortonormal, o que implica
e garante a preservação do produto interno.
Passo 2
Calculemos
, onde
.
Seu quadrado da norma é
logo
.
Passo 3
Agora
com
:
Verifiquemos a norma e a ortogonalidade a
:
Passo 4
Finalmente
com
:
Calculamos
e as projeções em
e
:
Passo 5
Como
é uma base ortonormal de
, temos
. Dessa forma, para quaisquer
,
ou seja,
preserva o produto interno.