Nota: Os seguintes exercícios abordam espaços vetoriais com suas respectivas operações usuais.
Achar uma base do subespaço
, onde
é um subespaço do
gerado por
e
.
Achar uma base do subespaço
Passo 1
O enunciado considera o subespaço
gerado pelos vetores
e
Queremos encontrar uma base de
, o ortogonal de
no
com o produto escalar usual.
Passo 2
Um vetor genérico em
é
. Para
devemos ter
Escrevendo essas condições em coordenadas, obtemos o sistema
Passo 3
São duas equações lineares em quatro incógnitas, logo escolheremos
e
como parâmetros livres. Seja
Da primeira equação vem
Da segunda equação vem
Passo 4
Logo o vetor geral de
é
Como
e
são livres, uma base de
é
Multiplicando cada vetor por
(o que não altera a base), obtemos uma forma mais “simples”:
Resposta
Uma possível base de
é