Nota: Os seguintes exercícios abordam espaços vetoriais com suas respectivas operações usuais.
Achar uma base do subespaço V^perp, onde V é um subespaço do R^4 gerado por (1,0,1,1) e (1,1,2,0).

Passo 1

O enunciado considera o subespaço VsubsetR^4 gerado pelos vetores
v1 = (1,0,1,1)
e
v2 = (1,1,2,0)
Queremos encontrar uma base de V^perp, o ortogonal de V no R^4 com o produto escalar usual.

Passo 2

Um vetor genérico em R^4 é x=(x1,x2,x3,x4). Para xin V^perp devemos ter
xcdot v1 = 0 e xcdot v2 = 0
Escrevendo essas condições em coordenadas, obtemos o sistema
x1 + x3 + x4 = 0,
x1 + x2 + 2,x3 = 0

Passo 3

São duas equações lineares em quatro incógnitas, logo escolheremos x3 e x4 como parâmetros livres. Seja
x3 = s, x4 = t, s,tinR
Da primeira equação vem
x1 = -,x3 - x4 = -s - t
Da segunda equação vem
(-s - t) + x2 + 2s = 0 ;Longrightarrow; x2 = t - s

Passo 4

Logo o vetor geral de V^perp é
x = (x1,x2,x3,x4) = s,(-1,-1,1,0) ;+; t,(-1,1,0,1)
Como s e t são livres, uma base de V^perp é
,(-1,-1,1,0),;(-1,1,0,1)
Multiplicando cada vetor por -1 (o que não altera a base), obtemos uma forma mais “simples”:
(1,1,-1,0),;(1,-1,0,-1)

Resposta

Uma possível base de V^perp é
(1,1,-1,0),;(1,-1,0,-1)

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