Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição inicial . Em cada um dos Problemas 1 a 4 , faça os passos descritos a seguir. Considere nos itens de (b) a (d).
Faça o gráfico de em função de para e para diversos valores de .
Passo 1
O enunciado trata da equação da onda numa corda de comprimento
com condições de contorno
e condições iniciais
Aqui é a “campânula” triangular
Para resolver vamos usar separação de variáveis e expandir (f(x)] em série de senos.]
Passo 2
Precisamos da expansão de Fourier-seno de f(x):
f(x)=sumn=1^inftybnsin!l(npi x/Lr),
onde
bn=2Lintegral0^Lf(x),sin!l(npi x/Lr),dx
Ao calcular essa integral em duas partes (de 0 a L/2 e de L/2 a L) obtém-se
bn= 8n^2pi^2sin!l(tfracnpi2r),&n ímpar,[6pt] 0,&n par í]
Passo 3
Agora fazemos L=10 e a=1. Mantêm-se
bn=8n^2pi^2sin!l(tfracnpi2r)((bn=0) se (n) par),
e as frequências naturais são
omegan=npi aL=npi10
Passo 4
A solução geral, satisfazendo as condições iniciais, fica
Passo 5
Para 0<= t<=20 e valores fixos de x (por exemplo x=2,5,8) cada termo oscila como cos(npi t/10) e o período fundamental é
T=2piomega1=2pipi/10=20
O gráfico de u(x,t) versus t mostra uma oscilação periódica de período 20, cujas amplitudes em cada x são dadas pela soma dos modos acima.