Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Em cada um dos Problemas 1 a 4 , faça os passos descritos a seguir. Considere L=10 e a=1 nos itens de (b) a (d).
Faça o gráfico de u(x, t) em função de t para 0 <= t <= 20 e para diversos valores de x.
f(x)=lr2 x / L, & 0 <= x <= L / 2, 2(L-x) / L, & L / 2<x <= L

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda numa corda de comprimento
com condições de contorno
e condições iniciais
Aqui é a “campânula” triangular
Para resolver vamos usar separação de variáveis e expandir (f(x)] em série de senos.]

Passo 2

Precisamos da expansão de Fourier-seno de f(x):
f(x)=sumn=1^inftybnsin!l(npi x/Lr),
onde
bn=2Lintegral0^Lf(x),sin!l(npi x/Lr),dx
Ao calcular essa integral em duas partes (de 0 a L/2 e de L/2 a L) obtém-se
bn= 8n^2pi^2sin!l(tfracnpi2r),&n ímpar,[6pt] 0,&n par í]

Passo 3

Agora fazemos L=10 e a=1. Mantêm-se
bn=8n^2pi^2sin!l(tfracnpi2r)((bn=0) se (n) par),
e as frequências naturais são
omegan=npi aL=npi10

Passo 4

A solução geral, satisfazendo as condições iniciais, fica

Passo 5

Para 0<= t<=20 e valores fixos de x (por exemplo x=2,5,8) cada termo oscila como cos(npi t/10) e o período fundamental é
T=2piomega1=2pipi/10=20
O gráfico de u(x,t) versus t mostra uma oscilação periódica de período 20, cujas amplitudes em cada x são dadas pela soma dos modos acima.

Resposta

com , e período fundamental .

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