Calcule integralc F. d r, onde F(x, y, z)=xyi+yz j+zx k, e C é a cúbica retorcida dada por x=t ; y=t^2 ; z=t^3 ; 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = xy,i + yz,j + zx,k. A curva C é dada pelas equações paramétricas x = t, y = t^2 e z = t^3, com t variando de 0 a 1. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva [C). Já temos as equações paramétricas:
para (0 \leq t \leq 1].

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada do vetor posição r(t) = lang<= x(t), y(t), z(t) rang<= em relação a t, ou seja, r'(t):
r'(t) = lang<= dxdt, dydt, dzdt rang<= = lang<= 1, 2t, 3t^2 rang<=

Passo 4

Em seguida, substituímos os parâmetros x(t), y(t) e z(t) na função F:
F(t) = F(x(t), y(t), z(t)) = (t cdot t^2),i + (t^2 cdot t^3),j + (t^3 cdot t),k = t^3,i + t^5,j + t^4,k

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(t) cdot r'(t):
F(t) cdot r'(t) = t^3 cdot 1 + t^5 cdot 2t + t^4 cdot 3t^2 = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5t^6

Passo 6

Finalmente, integramos o resultado obtido no intervalo de t de 0 a 1:
integral0^1 (t^3 + 5t^6) , dt = integral0^1 t^3 , dt + 5 integral0^1 t^6 , dt
Calculando cada integral separadamente:
integral t^3 , dt = t^44 e integral t^6 , dt = t^77
Então:
[ t^44 ]0^1 + 5 [ t^77 ]0^1 = ( 14 - 0 ) + 5 ( 17 - 0 ) = 14 + 57
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 28:
14 = 728 e 57 = 2028
Então:
728 + 2028 = 2728

Resposta

O valor da integral integralC F cdot d r é 2728.

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