Determine se a série converge ou diverge.
sumn=0^infty 1+n+n^2raiz1+n^2+n^6

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=0^infty 1 + n + n^2raiz1 + n^2 + n^6
converge ou diverge. Este é um problema de testes de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar aqui o Teste da Comparação Limite (ou Limit Comparison Test), comparando com a série harmônica sum 1/n, cuja divergência é bem conhecida.

Passo 2

Analisamos o comportamento de cada termo para n grande. Note que para ntoinfty:
  • O numerador 1 + n + n^2 é assintoticamente sim n^2.
  • O denominador raiz1 + n^2 + n^6 é assintoticamente simraizn^6 = n^3.
    Logo
1 + n + n^2raiz1 + n^2 + n^6 ;sim;n^2n^3 ;=;1n

Passo 3

Para formalizar, aplicamos o Limit Comparison Test com bn=1/n. Definindo
an = 1 + n + n^2raiz1 + n^2 + n^6,
calculamos
L = limntoinftyan1/n = limntoinfty n;1 + n + n^2raiz1 + n^2 + n^6 = 1
porque o termo de maior ordem em cima é n^3 e em baixo também é n^3. Como 0< L<infty e sum 1/n diverge, concluímos que sum an também diverge.

Passo 4

Portanto, pela comparação limite com a série harmônica, a série dada diverge.

Resposta

A série diverge.

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