Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Este é um problema de testes de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar aqui o Teste da Comparação Limite (ou Limit Comparison Test), comparando com a série harmônica
, cuja divergência é bem conhecida.
Passo 2
Analisamos o comportamento de cada termo para
grande. Note que para
:
- O numerador
é assintoticamente . - O denominador
é assintoticamente .
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Passo 3
Para formalizar, aplicamos o Limit Comparison Test com
. Definindo
calculamos
porque o termo de maior ordem em cima é
e em baixo também é
. Como
e
diverge, concluímos que
também diverge.
Passo 4
Portanto, pela comparação limite com a série harmônica, a série dada diverge.
Resposta
A série diverge.