Teste a série para convergência ou divergência.
sumn=1^infty (-1)^n-1 raiznn+4

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty(-1)^n-1raiznn+4
e pede para testar convergência ou divergência. Como os termos alternam de sinal, vamos usar o Teste de Leibniz (série alternante) e em seguida verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Mostramos que o termo geral
an = raiznn+4
tende a zero. De fato, dividindo numerador e denominador por raizn,
an = 1raizn + 4/raizn
e, à medida que ntoinfty, raizntoinfty, então anto0.

Passo 3

Para aplicar o Teste de Leibniz precisamos também que an seja decrescente a partir de algum n. Considere
f(x)=raizxx+4, x>0
Calculando a derivada:
f'(x) =tfrac12raizx,(x+4)-raizx(x+4)^2 =4-x2raizx,(x+4)^2
Como para x>4 vale 4-x<0, segue f'(x)<0. Logo an é decrescente para n>=5.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz, como
  1. an>0,
  2. an é decrescente a partir de n=5,
  3. limntoinftyan=0,
    a série alternante converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, examinamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1tfracraiznn+4r| =sumn=1^inftyraiznn+4
Como para n grande raiznn+4sim1raizn e sum1/raizn diverge ( p-série com p=1/2<=1), a série de módulos diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (pelo Teste de Leibniz) e diverge absolutamente.

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