Teste a série para convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo que vamos usar é o Critério de Leibniz (séries alternadas) e o Teste de Comparação para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
que são os termos positivos da parte absoluta. Primeiro, mostramos que
é decrescente e tende a zero. Considere a função contínua
Em derivada temos
logo
(e, portanto,
) é decrescente. Além disso,
Passo 3
Pelo Critério de Leibniz, como
é decrescente e
, a série alternada
converge.
Passo 4
Para verificar se a convergência é absoluta, analisamos
Como para todo
vale
e sabemos que
é convergente (série
- com
), então a série de termos absolutos converge. Logo, a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente.