Teste a série para convergência ou divergência.
sumn=2^infty (-1)^n+14 n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=2^infty (-1)^n+14n^2+1
O conteúdo que vamos usar é o Critério de Leibniz (séries alternadas) e o Teste de Comparação para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
bn = 14n^2+1,
que são os termos positivos da parte absoluta. Primeiro, mostramos que (bn) é decrescente e tende a zero. Considere a função contínua
f(x) = 14x^2+1, x>0
Em derivada temos
f'(x) = -8x(4x^2+1)^2 < 0para x>0,
logo f (e, portanto, bn=f(n)) é decrescente. Além disso,
limntoinftybn = limntoinfty14n^2+1 = 0

Passo 3

Pelo Critério de Leibniz, como bn é decrescente e limntoinftybn=0, a série alternada
sumn=2^infty(-1)^n+1bn
converge.

Passo 4

Para verificar se a convergência é absoluta, analisamos
sumn=2^inftybn = sumn=2^infty14n^2+1
Como para todo n>=2 vale
0 < 14n^2+1 < 14n^2,
e sabemos que
sumn=2^infty14n^2 = 14sumn=2^infty1n^2
é convergente (série p- com p=2>1), então a série de termos absolutos converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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