Determine se a série converge ou diverge.
sumn=0^infty sen^2 nn raizn

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série de termos não negativos
sumn=1^inftysen^2nnraizn
O conteúdo necessário é o critério de comparação com séries-p e o fato de que uma série-p
sumn=1^infty1n^p
converge se e somente se p>1.

Passo 2

Relembremos que a série-p
sumn=1^infty1n^3/2
converge porque o expoente p=tfrac32 satisfaz p>1.

Passo 3

Como para todo n vale
0 ;<=;sen^2n;<=;1,
obtemos
0 ;<=;sen^2nnraizn;<=;1n^3/2
Pelo critério da comparação direta com a série-p convergente sum1/n^3/2, concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série converge.

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