Calcule ointC y^33 x d x+e^y^2 d y, onde C é a fronteira da região do plano limitada por:
3 x^2 >= pi y, 3 x^2 <= 2 pi y, y^2 >= 2 x e y^2 <= 4 x
orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede
ointCy^33x,dx + e^y^2,dy,
sendo C o contorno orientado positivamente de uma região R limitada pelas curvas
3x^2 = pi y, 3x^2 = 2pi y, y^2=2x, y^2=4x
O conteúdo principal é usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha num integral dupla sobre R.

Passo 2

Seja
P(x,y)=y^33x, Q(x,y)=e^y^2
Pelo Teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Como partial Q/partial x=0 e
partial Ppartial y =partialpartial yl(tfracy^33xr) =y^2x,
vem
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-y^2x,
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ointCP,dx+Q,dy =-integral duplaRy^2x,dA

Passo 3

As quatro curvas podem ser escritas como nível de
u=x^2y, v=y^2x
De fato:
  • 3x^2=pi y e 3x^2=2pi y viram u=pi/3 e u=2pi/3.
  • y^2=4x e y^2=2x viram v=4 e v=2.
    Portanto em (u,v) o domínio é o retângulo
pi3<= u<= 2pi3, 2<= v<= 4

Passo 4

Invertendo (u,v)mapsto(x,y):
x = u^2/3v^1/3, y = u^1/3v^2/3
Calcula-se o Jacobiano:
J = detpartial(x,y)partial(u,v) = 13,
logo dA = dx,dy = tfrac13,du,dv e ainda tfracy^2x=v.

Passo 5

Fazendo a substituição na integral dupla:
integral duplaRy^2x,dA =integralu=pi/3^2pi/3!integralv=2^4 vcdot13,dv,du =13integralpi/3^2pi/3l[v^22r]2^4,du =13integralpi/3^2pi/36,du =2l(tfrac2pi3-tfracpi3r) =2pi3

Passo 6

Voltando à integral de linha,
ointCP,dx+Q,dy =-integral duplaRy^2x,dA =-2pi3

Resposta

- 2pi3

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