Calcule
, onde C é a fronteira da região do plano limitada por:
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede
,
sendo o contorno orientado positivamente de uma região
limitada pelas curvas
sendo
O conteúdo principal é usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha num integral dupla sobre
.
Passo 2
Seja
Pelo Teorema de Green,
Como
e
vem
logo
Passo 3
As quatro curvas podem ser escritas como nível de
De fato:
-
e viram e . -
e viram e .
Portanto emo domínio é o retângulo
Passo 4
Invertendo
:
Calcula-se o Jacobiano:
logo
e ainda
.
Passo 5
Fazendo a substituição na integral dupla:
Passo 6
Voltando à integral de linha,