Sejam S1 dada por (x-1)^2+y^2+z^2=1 e S2 o gráfico de f(x, y)=raizx^2+y^2 e P0=(1 / 4, raiz3 / 4,1 / 2).
Dê a equação do plano tangente a S1 em P0.

Passo 1

O conjunto S1 é a esfera de centro (1,0,0) e raio 1, dada pela equação
F(x,y,z)=(x-1)^2+y^2+z^2-1=0
Para achar o plano tangente em P0=(tfrac14,tfracraiz34,tfrac12) vamos usar que o gradiente nabla F em P0 é um vetor normal ao plano.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z)=l(2(x-1),,2y,,2zr)

Passo 3

Avaliamo-lo em P0:
nabla Fl(tfrac14,tfracraiz34,tfrac12r) =l(2(tfrac14-1),,2cdottfracraiz34,,2cdottfrac12r) =l(-tfrac32,,tfracraiz32,,1r)
Esse é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação do plano tangente tem a forma
nabla F(P0)cdotl((x,y,z)-P0r)=0
Substituindo nabla F(P0) e P0 obtemos
l(-tfrac32,,tfracraiz32,,1r)cdot l(x-tfrac14,,y-tfracraiz34,,z-tfrac12r)=0
Multiplicando por 2 para simplificar,
-3l(x-tfrac14r)+raiz3l(y-tfracraiz34r)+2l(z-tfrac12r)=0
Expandindo e simplificando,
-3x+raiz3,y+2z-1=0

Resposta

-3x+raiz3,y+2z-1=0

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