Sejam S1 dada por (x-1)^2+y^2+z^2=1 e S2 o gráfico de f(x, y)=raizx^2+y^2 e P0=(1 / 4, raiz3 / 4,1 / 2).
Dê a equação da reta tangente a C=S1 cap S2 em P0.

Passo 1

O enunciado dá as superfícies
S1:;(x-1)^2+y^2+z^2=1,
e
S2:;z=raizx^2+y^2
A curva C=S1cap S2 é a interseção dessas duas superfícies, e queremos a reta tangente a C em
P0=l(tfrac14,;tfracraiz34,;tfrac12r)
Para isso vamos usar gradientes (normais aos planos tangentes) e produto vetorial (para achar a direção da reta).

Passo 2

Reescrevemos S1 como nível de
F1(x,y,z)=(x-1)^2+y^2+z^2-1=0
O gradiente é
nabla F1(x,y,z)=(2(x-1),;2y,;2z)

Passo 3

Reescrevemos S2 como nível de
F2(x,y,z)=z-raizx^2+y^2=0
O gradiente é
nabla F2(x,y,z) =l(-tfracxraizx^2+y^2,;- tfracyraizx^2+y^2,;1r)

Passo 4

Em P0 calculamos primeiro raizx0^2+y0^2=tfrac12. Assim
nabla F1(P0) =l(2l(tfrac14-1r),;2cdottfracraiz34,;2cdottfrac12r) =l(-tfrac32,;tfracraiz32,;1r),
nabla F2(P0) =l(-tfractfrac14tfrac12,;-tfractfracraiz34tfrac12,;1r) =l(-tfrac12,;-tfracraiz32,;1r)

Passo 5

O vetor direção da reta tangente é o produto vetorial
v =nabla F1(P0)timesnabla F2(P0) = i&j&k -tfrac32&tfracraiz32&1 -tfrac12&-tfracraiz32&1 =(raiz3,;1,;raiz3)

Passo 6

A equação paramétrica da reta tangente em P0 com direção v é
ell:;(x,y,z) =l(tfrac14,;tfracraiz34,;tfrac12r) +t,(raiz3,,1,,raiz3), tinR

Resposta

boxed (x,y,z) =l(tfrac14,;tfracraiz34,;tfrac12r) +t,(raiz3,1,raiz3), tinR

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