Calcule o lim t 2, onde F(t)=(e^t3 e^2 t^2, t^2-4t-2, raizt-raiz2t-2) caso exista.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite limtto2F(t) de uma função vetorial
F(t)=gl(e^t3e^2t^2,;t^2-4t-2,;raiz t-raiz2t-2gr)
Esse problema envolve limites de funções contínuas, fatoração de polinômios e racionalização de expressões com raízes.

Passo 2

Calcular o limite da primeira componente e^t3e^2t^2. Como a função é contínua em t=2, basta substituir:
e^23e^2cdot2^2 = e^23e^8 = 13,e^-6

Passo 3

Calcular o limite da segunda componente t^2-4t-2. Fatorando o numerador:
t^2-4=(t-2)(t+2),
logo para tneq2 a expressão vale t+2. Assim
limtto2t^2-4t-2 =limtto2(t+2) =4

Passo 4

Calcular o limite da terceira componente raiz t-raiz2t-2, que é um caso 0/0. Racionalizando:
raiz t-raiz2t-2,raiz t+raiz2raiz t+raiz2 =t-2(t-2)(raiz t+raiz2) =1raiz t+raiz2
Substituindo t=2, obtém-se
limtto2raiz t-raiz2t-2 =1raiz2+raiz2 =12raiz2

Resposta

limtto2F(t) =l(tfrac13,e^-6,;4,;tfrac12raiz2r)

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