Desenhe a imagem da função F: R R^2 dada por F(t)=(4 cos t, 3 sin t).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da função
Fcolon RtoR^2, F(t) = l(4cos t,;3sin tr)
O conteúdo é parametrização de curvas no plano, e vamos usar a relação entre as coordenadas x=4cos t e y=3sin t para descobrir a forma da curva.

Passo 2

A partir de
x = 4cos t, y = 3sin t
dividimos cada equação pelo respectivo coeficiente e elevamos ao quadrado:
l(x4r)^2 = cos^2t, l(y3r)^2 = sin^2t
Somando as duas expressões, usando cos^2t + sin^2t = 1, obtemos a equação implícita da curva:
l(x4r)^2 + l(y3r)^2 = 1

Passo 3

A equação
l(x4r)^2 + l(y3r)^2 = 1
é a de uma elipse centrada na origem, com semieixo maior a=4 ao longo do eixo x (comprimento total 8) e semieixo menor b=3 ao longo do eixo y (comprimento total 6).

Passo 4

Para esboçar, basta marcar os pontos principais:
,F(0)=(4,0),
,F(tfracpi2)=(0,3),
,F(pi)=(-4,0),
,F(tfrac3pi2)=(0,-3),
e ligar suavemente formando uma elipse. O sentido de percurso, à medida que t cresce, é anti-horário.

Resposta

A imagem de F é a elipse de centro (0,0) e semieixos 4 e 3, dada por
l(tfracx4r)^2 + l(tfracy3r)^2 = 1

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