Valor: 2 pontos: Calcular o volume do sólido S dádo por
S:=0 <= z <= 3,0 <= x <= 2,0 <= y <= raiz4-x^2

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido S definido por
0 <= z <= 3, 0 <= x <= 2, 0 <= y <= raiz4 - x^2
O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla. Vamos montar a integral e calcular passo a passo.

Passo 2

Escrevemos o volume como
V = integralz=0^3!integralx=0^2!integraly=0^raiz4 - x^2 dy,dx,dz

Passo 3

Integramos primeiro em y:
integraly=0^raiz4 - x^2 dy = raiz4 - x^2
Logo
V = integralz=0^3!integralx=0^2 raiz4 - x^2,dx,dz

Passo 4

Como a parte em z e em x se separam, temos
V = l(integralz=0^3dzr)l(integralx=0^2raiz4 - x^2,dxr) = 3 cdot integral0^2raiz4 - x^2,dx
Para calcular
I = integral0^2raiz4 - x^2,dx
podemos reconhecer que é a área de um quarto de círculo de raio 2, ou fazer a substituição trigonométrica x=2sintheta. Em qualquer caso chega-se a
I = picdot 2^24 = pi

Passo 5

Substituindo em V, obtemos
V = 3 cdot pi = 3pi

Resposta

O volume do sólido S é 3pi.

Exercícios relacionados