Valor: 3 pontos: Calcular a integral (dupla) de f(x, y)=x^2+y^2+1 sobre à regiâo delimitada por uma circunferência de equação x^2+y^2=18 e pela retà y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função f(x, y) = x^2 + y^2 + 1 sobre a região que está dentro da circunferência x^2 + y^2 = 18 e delimitada pela reta y = x . Para isso, vamos usar cálculo integral em duas variáveis, e provavelmente mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A circunferência x^2 + y^2 = 18 tem centro na origem e raio raiz18 . A reta y = x corta essa circunferência em dois pontos. Para visualizar melhor, vamos desenhar o gráfico dessas curvas.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre a circunferência e a reta y = x . Substituindo y = x na equação da circunferência:
x^2 + x^2 = 18 Rightarrow 2x^2 = 18 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3
Então, os pontos de interseção são (3, 3) e (-3, -3) .

Passo 4

Como estamos trabalhando com uma circunferência e uma reta que passa pelo centro, é mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta e y = r sintheta
E a área diferencial em polares é dA = r , dr , dtheta .

Passo 5

Expressar a função f(x, y) em coordenadas polares:
f(r, theta) = x^2 + y^2 + 1 = r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta + 1 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) + 1 = r^2 + 1
Usamos a identidade trigonométrica cos^2theta + sin^2theta = 1 .

Passo 6

Determinar os limites de integração. O raio r vai de 0 até raiz18 = 3raiz2 . O ângulo theta é limitado pela reta y = x , que em coordenadas polares corresponde a theta = pi4 (45 graus). Então, theta vai de 0 a pi4 .

Passo 7

Montar a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaR (r^2 + 1) , r , dr , dtheta
Aqui, R é a região de integração que determinamos nos passos anteriores.

Passo 8

Primeiro, integrar em relação a r :
integral0^3raiz2 (r^2 + 1) , r , dr = integral0^3raiz2 (r^3 + r) , dr = [ r^44 + r^22 ]0^3raiz2 = (3raiz2)^44 + (3raiz2)^22
Calculando:
(3raiz2)^2 = 9 times 2 = 18 (3raiz2)^4 = (18)^2 = 324
Então:
3244 + 182 = 81 + 9 = 90

Passo 9

Agora, integrar o resultado em relação a theta :
integral0^pi4 90 , dtheta = 90 theta g|0^pi4 = 90 times pi4 = 90pi4 = 45pi2

Resposta

A integral dupla vale 45pi2 .

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