Valor: 3 pontos: Calcular a integral (dupla) de sobre à regiâo delimitada por uma circunferência de equação e pela retà .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região que está dentro da circunferência e delimitada pela reta . Para isso, vamos usar cálculo integral em duas variáveis, e provavelmente mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A circunferência tem centro na origem e raio . A reta corta essa circunferência em dois pontos. Para visualizar melhor, vamos desenhar o gráfico dessas curvas.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre a circunferência e a reta . Substituindo na equação da circunferência:
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Como estamos trabalhando com uma circunferência e uma reta que passa pelo centro, é mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E a área diferencial em polares é .
Passo 5
Expressar a função em coordenadas polares:
Usamos a identidade trigonométrica .
Passo 6
Determinar os limites de integração. O raio vai de 0 até . O ângulo é limitado pela reta , que em coordenadas polares corresponde a (45 graus). Então, vai de 0 a .
Passo 7
Montar a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, é a região de integração que determinamos nos passos anteriores.