Determine a equação da reta tangente a curva
dada por
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e retas tangentes. Vamos precisar calcular a derivada da função para obter a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto na curva quando
. Substituindo
na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
para obter o vetor tangente à curva. Derivando cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Então,
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Sabendo que
, substituímos:
Passo 5
Agora, a inclinação da reta tangente é dada pelo vetor derivada. A equação da reta tangente no ponto
com inclinação
é:
No nosso caso, a inclinação
é a razão das componentes
:
Passo 6
Agora, substituindo
,
e
na equação da reta:
Essa é a equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: