Determine a equação da reta tangente a curva F:[0,2 pi] R^2 dada por F(t)=(t cos t, 2 sin t) no ponto t=pi4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por F(t) = (t cos t, 2 sin t) no ponto onde t = pi4 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e retas tangentes. Vamos precisar calcular a derivada da função para obter a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto na curva quando t = pi4 . Substituindo t na função F(t) :
x = t cos t = pi4 cos(pi4) = pi4 times raiz22 = pi raiz28
y = 2 sin t = 2 sin(pi4) = 2 times raiz22 = raiz2
Então, o ponto de tangência é ( pi raiz28, raiz2 ) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de F(t) em relação a t para obter o vetor tangente à curva. Derivando cada componente:
F'(t) = ( ddt(t cos t), ddt(2 sin t) )
Para a primeira componente:
ddt(t cos t) = cos t - t sin t
Para a segunda componente:
ddt(2 sin t) = 2 cos t
Então, F'(t) = (cos t - t sin t, 2 cos t) .

Passo 4

Vamos calcular F'(pi4) :
F'(pi4) = ( cos(pi4) - pi4 sin(pi4), 2 cos(pi4) )
Sabendo que cos(pi4) = sin(pi4) = raiz22 , substituímos:
F'(pi4) = ( raiz22 - pi4 times raiz22, 2 times raiz22 ) = ( raiz22 (1 - pi4), raiz2 )

Passo 5

Agora, a inclinação da reta tangente é dada pelo vetor derivada. A equação da reta tangente no ponto (x0, y0) com inclinação m é:
y - y0 = m (x - x0)
No nosso caso, a inclinação m é a razão das componentes dydt / dxdt :
m = raiz2raiz22 (1 - pi4) = raiz2raiz22 - pi raiz28 = 112 - pi8 = 14 - pi8 = 84 - pi

Passo 6

Agora, substituindo x0 = pi raiz28 , y0 = raiz2 e m = 84 - pi na equação da reta:
y - raiz2 = 84 - pi ( x - pi raiz28 )
Essa é a equação da reta tangente à curva no ponto especificado.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto t = pi4 é:
y - raiz2 = 84 - pi ( x - pi raiz28 )

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